Fonctions · 2e Bac SE
Image d'un intervalle, bijection et fonction réciproque
Une fonction qui ne revient jamais sur ses pas peut être « défaite » : sa réciproque, dont on connaît la courbe et la pente.
Le vocabulaire à connaître
- fonction réciproque
- Si f est une bijection de I sur J, f⁻¹ envoie chaque y de J sur l'unique x de I tel que f(x) = y.
- bijection
- Une fonction qui associe à chaque élément de J exactement un antécédent dans I.
Ce qu'on sait
- L'image d'un segment par une fonction continue est un segment ; si f est continue et strictement croissante, l'image de [a ; b] est [f(a) ; f(b)] (inversé si f est décroissante).
- Une fonction continue et strictement monotone sur I est une bijection : Une fonction qui associe à chaque élément de J exactement un antécédent dans I. de I sur f(I) ; sa réciproque a le même sens de variation.
- Les courbes de f et de f⁻¹ sont symétriques par rapport à la droite y = x, et (f⁻¹)′(f(a)) = 1/f′(a) si f′(a) est non nul.
La méthode, étape par étape
1.Je montre que f est continue et strictement monotone sur I.
2.Je calcule l'image de I à l'aide des valeurs (ou limites) aux bornes.
3.Pour la dérivée de la réciproque en b, je trouve l'antécédent a de b par f.
4.Je calcule f′(a) et j'applique (f⁻¹)′(b) = 1/f′(a).
(f⁻¹)′(f(a)) = 1/f′(a).
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Soit f(x) = x³ + x, bijection strictement croissante de IR sur IR.
2.Je veux (f⁻¹)′(2) : l'antécédent de 2 est 1, car 1³ + 1 = 2.
3.f′(x) = 3x² + 1 donc f′(1) = 3 + 1 = 4.
4.Donc (f⁻¹)′(2) = 1/4.