Fonctions · 2e Bac SE

Logarithme : propriétés, équations, inéquations, log décimal

Le logarithme transforme les produits en sommes : c'est lui qui donne l'échelle des séismes, du pH ou du bruit.

Le vocabulaire à connaître

logarithme népérien: La fonction ln, primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[ qui s'annule en 1 ; elle est strictement croissante.
logarithme décimal: La fonction log(x) = ln(x)/ln(10) ; elle vérifie log(10ⁿ) = n.

ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; ln(a/b) = ln(a) − ln(b) ; ln(aⁿ) = n ln(a) ; ln(√a) = (1/2) ln(a) (a et b strictement positifs).
ln(a) = ln(b) équivaut à a = b ; ln(a) ≤ ln(b) équivaut à a ≤ b ; ln(1) = 0.
10ˣ = a équivaut à x = log(a) (a strictement positif) ; logₐ(x) = ln(x)/ln(a).

1.Je pose les conditions d'existence : tout ce qui est dans un logarithme doit être strictement positif.

2.Je regroupe les logarithmes en un seul avec les propriétés algébriques.

3.J'applique l'injectivité (ou la croissance de ln) pour revenir à une équation (ou inéquation) ordinaire.

4.Je rejette les solutions qui ne respectent pas les conditions d'existence.

On vérifie toujours les conditions d'existence avant et après.

C.Q.F.D.

1.Résoudre ln(x + 1) + ln(x − 2) = ln(28) sur ]2 ; +∞[.

2.ln((x + 1)(x − 2)) = ln(28) donne (x + 1)(x − 2) = 28, soit x² − x − 30 = 0.

3.Les racines sont 6 et −5.

4.Seule 6 est dans ]2 ; +∞[ : la solution est x = 6, et on a bien 7 × 4 = 28.