Fonctions · 2e Bac SE
Dériver et étudier : composée, racines, trigonométrie
Dérivée, signe, tableau de variations : le trio qui permet de dessiner une fonction sans la tracer point par point.
Le vocabulaire à connaître
- dérivée d'une composée
- (g∘u)′ = u′ × (g′∘u) : on dérive l'extérieur, on garde l'intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur.
- racine n-ième
- ⁿ√x est le réel positif dont la puissance n-ième vaut x ; c'est la puissance d'exposant rationnel 1/n de x.
Ce qu'on sait
- (sin(u))′ = u′ cos(u) ; (cos(u))′ = −u′ sin(u) ; (√u)′ = u′/(2√u) ; (ⁿ√x)′ = 1/(n × ⁿ√(xⁿ⁻¹)).
- (xʳ)′ = r xʳ⁻¹ pour x strictement positif et r rationnel.
- Si f′ est positive sur un intervalle, f y est croissante ; si f′ est négative, f y est décroissante. Un tableau de variations donne aussi le signe de f.
La méthode, étape par étape
1.Je détermine l'ensemble de définition (une racine exige un radicande positif).
2.Je dérive en repérant les composées, puis je factorise f′.
3.Je dresse le tableau de signes de f′, donc le tableau de variations.
4.Je lis les extremums, le signe de f et je conclus dans le contexte (maximum, minimum).
Signe de f′ ⇒ variations de f ⇒ extremums et signe de f.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Soit f(x) = √x − x/2 sur [0 ; +∞[.
2.f′(x) = 1/(2√x) − 1/2 s'annule quand √x = 1, soit x = 1.
3.f′ est positive avant 1 et négative après : f croît puis décroît.
4.Le maximum est f(1) = 1 − 1/2 = 1/2.