Fonctions · 2e Bac SE

Limites et étude de fonctions avec ln

Le logarithme croît, mais lentement : plus lentement que toute puissance. C'est ce qui règle la plupart des limites.

Le vocabulaire à connaître

croissances comparées: En +∞, ln(x) est négligeable devant x ; en 0⁺, x ln(x) tend vers 0.
dérivée logarithmique: La dérivée de ln(u) est u′/u, pour u dérivable et strictement positive.

lim ln(x) = +∞ en +∞ ; lim ln(x) = −∞ en 0⁺ ; ln(x)/x tend vers 0 en +∞.
x ln(x) tend vers 0 quand x tend vers 0⁺ ; ln(1 + x)/x tend vers 1 quand x tend vers 0.
(ln(u))′ = u′/u ; l'axe des ordonnées est asymptote verticale quand f tend vers ±∞ en 0⁺.

1.Je donne l'ensemble de définition (arguments strictement positifs).

2.Je calcule les limites aux bornes en utilisant les .

3.Je dérive avec u′/u, je factorise et j'étudie le signe de la dérivée.

4.Je dresse le tableau de variations et je précise les asymptotes.

Croissances comparées : ln(x)/x tend vers 0 en +∞ et x ln(x) tend vers 0 en 0⁺.

C.Q.F.D.

1.Soit f(x) = x − ln(x) sur ]0 ; +∞[.

2.f′(x) = 1 − 1/x = (x − 1)/x est négative avant 1 et positive après.

3.Le minimum est f(1) = 1 − 0 = 1.

4.En +∞, f(x) = x(1 − ln(x)/x) tend vers +∞.