Fonctions · 2e Bac SE

Étude de fonctions avec exp et ln

Quand exponentielle et logarithme se rencontrent dans une même fonction, on étudie les deux comportements l'un après l'autre.

Le vocabulaire à connaître

asymptote oblique: La droite y = ax + b telle que f(x) − (ax + b) tend vers 0 en ±∞.
dérivée de eᵘ: (eᵘ)′ = u′ eᵘ.

(eᵘ)′ = u′ eᵘ ; (ln(u))′ = u′/u ; (uv)′ = u′v + uv′.
x² e⁻ˣ et x e⁻ˣ tendent vers 0 en +∞ ; eˣ tend vers 0 en −∞ : l'axe des abscisses est alors asymptote.
L'inégalité eˣ ≥ x + 1 se démontre en étudiant le minimum de eˣ − x − 1.

1.Je donne l'ensemble de définition et je calcule les limites aux bornes, avec les croissances comparées.

2.Je dérive, je factorise, et j'étudie le signe de la dérivée (le facteur exponentiel est toujours positif).

3.Je dresse le tableau de variations.

4.Je cherche les asymptotes et les tangentes utiles, puis je trace la courbe.

Le facteur exponentiel est toujours positif : le signe de f′ vient de l'autre facteur.

C.Q.F.D.

1.Soit f(x) = x e⁻ˣ sur IR.

2.f′(x) = e⁻ˣ − x e⁻ˣ = (1 − x) e⁻ˣ, du signe de 1 − x.

3.f croît sur ]−∞ ; 1] puis décroît sur [1 ; +∞[.

4.Le maximum est f(1) = e⁻¹ = 1/e.