Fonctions · 2e Bac SE
Exponentielle : équations, inéquations et limites
La fonction qui croît comme elle-même : des populations aux placements, l'exponentielle est partout.
Le vocabulaire à connaître
- exponentielle népérienne
- La fonction exp, réciproque de ln ; on note exp(x) = eˣ où e est environ 2,718.
- croissance comparée
- En +∞, eˣ l'emporte sur toute puissance de x.
Ce qu'on sait
- eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ ; eᵃ⁻ᵇ = eᵃ/eᵇ ; (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ ; eˣ est strictement positif.
- eᵃ = eᵇ équivaut à a = b ; eᵃ ≤ eᵇ équivaut à a ≤ b ; eˣ = k équivaut à x = ln(k) (k strictement positif).
- eˣ/xⁿ tend vers +∞ en +∞ ; x eˣ tend vers 0 en −∞ ; (eˣ − 1)/x tend vers 1 en 0.
La méthode, étape par étape
1.J'écris les deux membres avec le même type de terme : une puissance de e.
2.Pour une équation du second degré en eˣ, je pose X = eˣ en rappelant que X est strictement positif.
3.Je reviens à x avec x = ln(X) ; je rejette les valeurs négatives de X.
4.Pour une valeur approchée, j'encadre avec un tableur ou une calculatrice, en utilisant la croissance de exp.
eˣ = k équivaut à x = ln(k), pour k strictement positif.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Résoudre e²ˣ − 7eˣ + 12 = 0.
2.Je pose X = eˣ : X² − 7X + 12 = 0, de racines 3 et 4.
3.Les deux sont strictement positives.
4.Donc eˣ = 3 ou eˣ = 4 : x = ln(3) ou x = ln(4).