Fonctions · 2e Bac SE
Continuité, valeurs intermédiaires et dichotomie
Une équation sans formule de résolution a-t-elle une solution ? Le théorème des valeurs intermédiaires : Si f est continue sur [a ; b], tout réel compris entre f(a) et f(b) a au moins un antécédent dans [a ; b]. répond, et la dichotomie : Méthode qui coupe en deux, à chaque étape, l'intervalle qui contient la solution. la traque.
Le vocabulaire à connaître
- continuité en a
- f est continue en a si la limite de f en a est f(a) : pas de saut ni de trou.
- théorème des valeurs intermédiaires
- Si f est continue sur [a ; b], tout réel compris entre f(a) et f(b) a au moins un antécédent dans [a ; b].
- dichotomie
- Méthode qui coupe en deux, à chaque étape, l'intervalle qui contient la solution.
Ce qu'on sait
- Les polynômes, les fonctions rationnelles (sur leur ensemble de définition), la racine carrée et les fonctions trigonométriques sont continues sur leur ensemble de définition.
- Si f est continue sur [a ; b] et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, l'équation f(x) = 0 a au moins une solution dans [a ; b].
- Si de plus f est strictement monotone, la solution est unique (théorème de la bijection).
La méthode, étape par étape
1.Je vérifie que f est continue sur l'intervalle, puis je calcule f(a) et f(b).
2.Je compare le signe : s'il est contraire, le théorème donne au moins une solution.
3.Pour l'unicité, j'étudie le signe de f′ : strictement monotone donne une seule solution.
4.Pour la localiser, je coupe l'intervalle en deux : je calcule f au milieu et je garde la moitié où le signe change.
f continue et f(a) × f(b) négatif : au moins une solution dans [a ; b].
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Soit f(x) = x³ + x − 3 sur [1 ; 2].
2.f(1) = 1 + 1 − 3 = −1 et f(2) = 8 + 2 − 3 = 7 : signes contraires, donc au moins une solution.
3.f′(x) = 3x² + 1 est positive : f est strictement croissante, la solution α est unique.
4.Milieu 1,5 : f(1,5) = 3,375 + 1,5 − 3 = 1,875, positif ; donc α est dans [1 ; 1,5].