Analyse · 2e Bac SE
Équations différentielles y′ = ay + b et y″ + ay′ + by = 0
Une vitesse de refroidissement, une oscillation : beaucoup de phénomènes obéissent à une équation qui relie une fonction à sa dérivée.
Le vocabulaire à connaître
- équation différentielle
- Une équation dont l'inconnue est une fonction y et qui fait intervenir ses dérivées.
- équation caractéristique
- Pour y″ + a y′ + b y = 0, c'est r² + a r + b = 0.
- condition initiale
- Une valeur imposée, comme y(0) = 1, qui fixe les constantes.
Ce qu'on sait
- Les solutions de y′ = a y sont C eᵃˣ, et celles de y′ = a y + b (a différent de 0) sont C eᵃˣ − b/a.
- Pour y″ + a y′ + b y = 0 : deux racines réelles r₁ et r₂ donnent A exp(r₁x) + B exp(r₂x) ; une racine double r donne (Ax + B) exp(rx).
- Si le discriminant est négatif, les racines sont p ± iq et les solutions sont eᵖˣ (A cos(qx) + B sin(qx)).
La méthode, étape par étape
1.Je mets l'équation sous la forme standard, en divisant par le coefficient de y′ ou y″.
2.Pour l'ordre 1, je cherche la solution constante, puis j'ajoute C eᵃˣ.
3.Pour l'ordre 2, je résous l'équation caractéristique : Pour y″ + a y′ + b y = 0, c'est r² + a r + b = 0. et je choisis la forme selon le signe du discriminant.
4.J'utilise les condition initiale : Une valeur imposée, comme y(0) = 1, qui fixe les constantes. pour calculer les constantes.
y′ = a y + b : y = C eᵃˣ − b/a. y″ + a y′ + b y = 0 : forme donnée par les racines de r² + a r + b = 0.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Je résous y′ = 4y − 8 avec y(0) = 5.
2.La solution constante vérifie 0 = 4y − 8, soit y = 2.
3.Donc y = C e⁴ˣ + 2 et y(0) = C + 2 = 5 donne C = 3.
4.La solution est y = 3e⁴ˣ + 2 : en 0, 3 × 1 + 2 = 5.