Analyse · 2e Bac SE

Suites uₙ₊₁ = a·uₙ + b : la suite auxiliaire

Un prêt qu'on rembourse, une épargne qui rapporte : à chaque étape on multiplie puis on ajoute. Une astuce ramène tout à une suite géométrique.

Le vocabulaire à connaître

suite récurrente: Une suite dont chaque terme se calcule à partir du précédent : uₙ₊₁ = a uₙ + b.
point fixe: Le réel α qui vérifie α = aα + b : si un terme vaut α, tous les suivants valent α.
suite auxiliaire: Une suite construite à partir de (uₙ), ici vₙ = uₙ − α, dont on connaît la nature.

Une suite géométrique de raison q vérifie vₙ = v₀ qⁿ ; une suite arithmétique de raison r vérifie vₙ = v₀ + n r.
La somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut n × (premier + dernier)/2.
Si a est différent de 1, le est α = b/(1 − a).

1.Je cherche le point fixe α en résolvant α = aα + b.

2.Je pose vₙ = uₙ − α et je montre que vₙ₊₁ = a vₙ : (vₙ) est géométrique de raison a.

3.J'écris vₙ = v₀ aⁿ, puis je reviens à uₙ = α + (u₀ − α) aⁿ.

4.Pour une suite homographique du type uₙ₊₁ = uₙ/(1 + k uₙ), je teste wₙ = 1/uₙ : elle est arithmétique de raison k.

uₙ = α + (u₀ − α) aⁿ, avec α = b/(1 − a).

C.Q.F.D.

1.Je veux uₙ pour uₙ₊₁ = 2 uₙ + 3 et u₀ = 2.

2.Point fixe : α = 2α + 3 donne α = −3.

3.vₙ = uₙ + 3 est géométrique de raison 2, avec v₀ = 2 + 3 = 5.

4.Donc uₙ = −3 + 5 × 2ⁿ, et par exemple pour n = 3 : 5 × 2³ = 40, soit u₃ = 37.