Probabilités · 2e Bac SE
Dénombrement, probabilités et indépendance
Combien de menus, de codes, de comités ? Savoir compter proprement est la moitié du travail en probabilités.
Le vocabulaire à connaître
- arrangement
- Un choix de p éléments parmi n où l'ordre compte : Aₙᵖ = n(n − 1)…(n − p + 1) sans répétition, nᵖ avec répétition.
- combinaison
- Un choix de p éléments parmi n où l'ordre ne compte pas : Cₙᵖ = Aₙᵖ/p!.
- événements indépendants
- A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Ce qu'on sait
- Principe fondamental : des choix successifs indépendants se multiplient.
- Équiprobabilité : P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ; P(non A) = 1 − P(A) ; P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).
La méthode, étape par étape
1.Je décris l'expérience : l'ordre compte-t-il ? y a-t-il répétition ? tirage simultané ou successif ?
2.Je choisis le modèle : produit, arrangement : Un choix de p éléments parmi n où l'ordre compte : Aₙᵖ = n(n − 1)…(n − p + 1) sans répétition, nᵖ avec répétition., combinaison : Un choix de p éléments parmi n où l'ordre ne compte pas : Cₙᵖ = Aₙᵖ/p!..
3.Je compte les cas possibles, puis les cas favorables.
4.Je divise, je simplifie et je vérifie que le résultat est entre 0 et 1.
P(A) = cas favorables / cas possibles, en situation d'équiprobabilité.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Une urne contient 4 boules rouges et 4 vertes ; on tire 2 boules simultanément.
2.Cas possibles : C₈² = 28.
3.Cas favorables (deux rouges) : C₄² = 6.
4.La probabilité vaut 6/28 = 3/14.