Géométrie · 2AC
Médianes, hauteurs, médiatrices et bissectrices
Quatre familles de droites, quatre points de rencontre.
Le vocabulaire à connaître
- médiane
- La droite qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
- hauteur
- La droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.
- centre de gravité
- Le point de rencontre des trois médianes.
Ce qu'on sait
- Les trois médiane : La droite qui joint un sommet au milieu du côté opposé. se coupent au centre de gravité : Le point de rencontre des trois médianes. G, situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet.
- Les trois médiatrices se coupent au centre O du cercle circonscrit ; les trois bissectrices, au centre I du cercle inscrit ; les trois hauteur : La droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé., en l'orthocentre.
- Dans un triangle isocèle en A, la médiane, la hauteur, la bissectrice issues de A et la médiatrice de [BC] sont confondues.
La méthode, étape par étape
1.Je repère la droite dont il s'agit : par quels points passe-t-elle, et quel angle forme-t-elle avec le côté ?
2.Je retrouve le point de concours qui lui correspond.
3.J'utilise la propriété de ce point : deux tiers de la médiane, ou égale distance.
4.Je calcule la longueur ou j'énonce l'égalité.
G est aux deux tiers de la médiane [AM] en partant de A : AG = 2/3 × AM.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.[AM] est une médiane de ABC, G est le centre de gravité et AM = 12 cm.
2.G est aux deux tiers de [AM] en partant de A.
3.AG = 2/3 × 12 = 8.
4.Il reste GM = 12 − 8 = 4.
5.Donc AG = 8 cm et GM = 4 cm.