Géométrie · 2AC
Triangle rectangle et cercle circonscrit
L'angle droit se cache toujours sur un demi-cercle.
Le vocabulaire à connaître
- hypoténuse
- Le côté d'un triangle rectangle qui est en face de l'angle droit : c'est le plus long.
- cercle circonscrit
- Le cercle qui passe par les trois sommets d'un triangle.
Ce qu'on sait
- Si ABC est rectangle en A, son cercle circonscrit : Le cercle qui passe par les trois sommets d'un triangle. a pour diamètre l'hypoténuse : Le côté d'un triangle rectangle qui est en face de l'angle droit : c'est le plus long. [BC] : son centre est le milieu M de [BC].
- Dans ce cas, la médiane [AM] est égale à la moitié de l'hypoténuse : AM = BC ÷ 2.
- Réciproque : si M est le milieu de [BC] et si AM = BC ÷ 2, alors ABC est rectangle en A.
La méthode, étape par étape
1.Je repère l'angle droit, ou le sommet qui pourrait être l'angle droit, et l'hypoténuse.
2.J'écris que le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit.
3.J'écris que la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse.
4.Je calcule la longueur, ou je conclus avec la réciproque.
ABC est rectangle en A si et seulement si AM = BC ÷ 2, où M est le milieu de [BC].
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.ABC est rectangle en A, avec BC = 13 cm, et M est le milieu de [BC].
2.[BC] est un diamètre du cercle circonscrit : son rayon est la moitié de BC.
3.13 ÷ 2 = 6,5.
4.[AM] est un rayon de ce cercle, car A est sur le cercle.
5.Donc AM = 6,5 cm.