Analyse · 1re Bac SM

Dérivation : variations, extremums, optimisation

Le signe de la dérivée raconte les montées et les descentes d'une fonction : de quoi trouver le meilleur choix d'un problème concret.

Le vocabulaire à connaître

extremum: Un maximum ou un minimum. Un extremum local en a se repère par un changement de signe de f′ en a.
optimisation: Chercher la valeur de la variable qui rend une grandeur maximale ou minimale.

Si f′ ≥ 0 sur un intervalle, f y est croissante ; si f′ ≤ 0, f y est décroissante.
Si f est croissante puis décroissante, son maximum est atteint là où f′ s'annule en changeant de signe ; le signe de ce maximum renseigne sur le signe de f.
La limite d'un taux d'accroissement est un nombre dérivé : lim (f(x) − f(a))/(x − a) = f′(a).

1.J'exprime la grandeur à optimiser en fonction d'une seule variable, et je précise son intervalle.

2.Je calcule la dérivée et je cherche où elle s'annule.

3.Je dresse le tableau de signes de f′ puis le tableau de variations.

4.Je lis le maximum ou le minimum et je réponds par une phrase.

L' se trouve là où f′ s'annule en changeant de signe ; je termine par une phrase de réponse.

C.Q.F.D.

1.Un jardin rectangulaire est entouré de 40 m de grillage. Aire maximale ?

2.Un côté mesure x, l'autre 20 − x : A(x) = x(20 − x) = 20x − x².

3.A′(x) = 20 − 2x s'annule en x = 10 ; A′ est positive avant, négative après.

4.Le maximum vaut A(10) = 10 × (20 − 10) = 100 m² : c'est le carré de côté 10 m.