Analyse · 1re Bac SM

Dérivation : nombre dérivé, tangente, règles de calcul

Le donne la pente de la courbe en un point : il fournit la et la meilleure approximation affine.

Le vocabulaire à connaître

nombre dérivé: La limite, quand h tend vers 0, du taux d'accroissement (f(a + h) − f(a))/h, notée f′(a).
tangente: La droite passant par le point de la courbe d'abscisse a, de coefficient directeur f′(a).
point anguleux: Un point où les dérivées à gauche et à droite existent mais sont différentes.

Tangente en a : y = f′(a)(x − a) + f(a) ; approximation affine : f(a + h) ≈ f(a) + f′(a)h pour h petit.
(uv)′ = u′v + uv′, (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², (uⁿ)′ = n u′ uⁿ⁻¹, (√u)′ = u′/(2√u).
Dérivées usuelles : (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹, (1/x)′ = −1/x², (√x)′ = 1/(2√x), cos′ = −sin, sin′ = cos.

1.J'identifie la forme de la fonction : somme, produit, quotient, composée.

2.J'applique la règle adaptée et je simplifie.

3.Je calcule f(a) puis f′(a).

4.J'écris la tangente y = f′(a)(x − a) + f(a) et je la développe.

La tangente en a est y = f′(a)(x − a) + f(a).

C.Q.F.D.

1.Tangente à f(x) = x² − 3x + 1 en a = 2.

2.f(2) = 2² − 3 × 2 + 1 = −1.

3.f′(x) = 2x − 3 donc f′(2) = 2 × 2 − 3 = 1.

4.y = 1 × (x − 2) + (−1) = x − 3.