Analyse · 1re Bac SM

Suites : récurrence, monotonie, majoration

Une suite est une liste infinie de nombres : la récurrence permet de prouver une propriété pour tous les rangs d'un seul coup.

Le vocabulaire à connaître

suite récurrente: Une suite définie par son premier terme et une relation uₙ₊₁ = f(uₙ).
majorée, minorée, bornée: Majorée par M si uₙ ≤ M pour tout n ; minorée par m si uₙ ≥ m ; bornée si elle est les deux.
monotone: Croissante si uₙ₊₁ − uₙ ≥ 0 pour tout n ; décroissante si uₙ₊₁ − uₙ ≤ 0.

Raisonnement par récurrence : initialisation (la propriété est vraie au premier rang), hérédité (si vraie au rang n, alors vraie au rang n + 1), conclusion.
Pour la monotonie, j'étudie le signe de uₙ₊₁ − uₙ, ou le quotient uₙ₊₁/uₙ par rapport à 1 si tous les termes sont strictement positifs.
Si uₙ₊₁ = f(uₙ) avec f croissante, la suite est : croissante si u₁ ≥ u₀, décroissante sinon.

1.J'énonce clairement la propriété P(n) à démontrer.

2.Je vérifie l'initialisation en calculant le premier terme.

3.Je suppose P(n) et je démontre P(n + 1) en partant de la relation de récurrence.

4.Je conclus que P(n) est vraie pour tout n.

La récurrence prouve P(n) pour tous les rangs : initialisation, hérédité, conclusion.

C.Q.F.D.

1.Soit u₀ = 1 et uₙ₊₁ = √(2uₙ + 3). Montrons que uₙ ≤ 3 pour tout n.

2.Initialisation : u₀ = 1 ≤ 3.

3.Hérédité : si uₙ ≤ 3, alors 2uₙ + 3 ≤ 2 × 3 + 3 = 9, donc uₙ₊₁ ≤ √9 = 3.

4.Conclusion : la suite est majorée par 3. Contrôle : √(2 × 3 + 3) = √9 = 3, donc 3 est un point fixe.