Analyse · 1re Bac SM

Trigonométrie : formules, équations et inéquations

Les formules d'addition fabriquent des valeurs exactes comme cos 75° et ramènent bien des équations à une équation de base.

Le vocabulaire à connaître

équation fondamentale: Une équation du type cos x = cos α, sin x = sin α ou tan x = tan α.
cercle trigonométrique: Le cercle de rayon 1 : le point d'angle x a pour abscisse cos x et pour ordonnée sin x.

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b et sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b ; sin 2x = 2 sin x cos x et cos 2x = cos² x − sin² x.
cos p + cos q = 2 cos((p + q)/2) cos((p − q)/2) ; a cos x + b sin x = r cos(x − φ) avec r = √(a² + b²).
cos x = cos α donne x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ ; sin x = sin α donne x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ.

1.Je ramène l'équation à une (transformation, changement de variable).

2.Je lis sur le tous les angles qui conviennent.

3.J'ajoute 2kπ puis je garde les solutions de l'intervalle demandé.

4.Pour une inéquation, je colorie l'arc du cercle qui convient.

Une équation trigonométrique a en général deux familles de solutions par tour ; il faut les donner toutes.

C.Q.F.D.

1.Résolvons √3 cos x + sin x = 1 sur [0 ; 2π[.

2.Ici r = √((√3)² + 1²) = √4 = 2, et √3 cos x + sin x = 2cos(x − π/6).

3.L'équation devient cos(x − π/6) = 1/2, donc x − π/6 = ±π/3 à 2π près.

4.Solutions : x = π/2 ou x = −π/6, soit 11π/6 dans [0 ; 2π[.