Analyse · 1re Bac SM

Suites arithmétiques et géométriques : termes, sommes, problèmes

On ajoute toujours le même nombre, ou on multiplie toujours par le même : deux modèles pour les économies, les baisses de prix et les populations.

Le vocabulaire à connaître

suite arithmétique: Chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un nombre fixe r, la raison : uₙ₊₁ = uₙ + r.
suite géométrique: Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre fixe q, la raison : uₙ₊₁ = q × uₙ.

Arithmétique : uₙ = u₀ + n × r et la somme de n termes consécutifs vaut n × (premier + dernier)/2.
Géométrique : uₙ = u₀ × qⁿ et, pour q ≠ 1, u₀ + u₁ + … + uₙ = u₀ × (qⁿ⁺¹ − 1)/(q − 1).
Une baisse de t % revient à multiplier par 1 − t/100 : les prix successifs forment une .

1.Je reconnais le modèle : on ajoute (arithmétique) ou on multiplie (géométrique).

2.J'identifie le premier terme et la raison.

3.Je compte le nombre de termes : de u₀ à uₙ, il y en a n + 1.

4.J'applique la formule du terme ou de la somme et je contrôle sur un petit rang.

Pour sommer des termes consécutifs : nombre de termes × (premier + dernier)/2 en arithmétique, premier × (qⁿ⁺¹ − 1)/(q − 1) en géométrique.

C.Q.F.D.

1.Salma économise 40 DH le premier mois, puis 15 DH de plus chaque mois. Total sur 8 mois ?

2.Les économies forment une de premier terme 40 et de raison 15.

3.Le dernier mois : 40 + 7 × 15 = 145.

4.La somme vaut 8 × (40 + 145)/2 = 740 DH.