Algèbre · 1re Bac SM

Logique, quantificateurs et raisonnements

Une démonstration est une chaîne de phrases dont chacune est permise : apprends à l'écrire en symboles et à choisir la bonne preuve.

Le vocabulaire à connaître

proposition: Un énoncé qui est vrai ou faux, jamais les deux.
quantificateur: Le symbole ∀ se lit « pour tout » et ∃ se lit « il existe ».
contraposée: La contraposée de « P ⇒ Q » est « non Q ⇒ non P » : elle a toujours la même valeur de vérité.
raisonnement par l'absurde: On suppose le contraire de ce qu'on veut démontrer et on arrive à une contradiction.

La négation échange les : la négation de ∀x ∈ IR, P(x) est ∃x ∈ IR, non P(x). Un seul contre-exemple suffit à réfuter un « pour tout ».
Une implication P ⇒ Q et sa non Q ⇒ non P sont équivalentes ; la réciproque Q ⇒ P est une autre .
Une récurrence a trois temps : l'initialisation, l'hérédité (P(n) ⇒ P(n+1)) et la conclusion.

1.Je lis la phrase et je repère les mots « pour tout » et « il existe ».

2.Je choisis le raisonnement adapté : direct, contraposée, absurde, disjonction des cas ou récurrence.

3.Je rédige chaque étape en citant la propriété qui la permet.

4.Pour réfuter un « pour tout », je cherche un contre-exemple chiffré.

Une démonstration claire dit ce qu'on suppose, ce qu'on cherche, et pourquoi chaque étape est permise.

C.Q.F.D.

1.Montrons que pour tout entier naturel n, n² + n est pair, par disjonction des cas.

2.Si n est pair, n = 2k : n² + n = 4k² + 2k = 2(2k² + k), un nombre pair.

3.Si n est impair, n = 2k + 1 : n² + n = (2k + 1)² + 2k + 1 = 4k² + 6k + 2 = 2(2k² + 3k + 1), un nombre pair.

4.Les deux cas couvrent tous les entiers : la propriété est démontrée.

5.Contrôle avec n = 5 : 5² + 5 = 30, qui est pair.