Algèbre · 1re Bac SM
Applications : images, injection, surjection, bijection, composée
Une application associe à chaque élément un seul élément : savoir la lire, l'inverser et la composer ouvre toute l'analyse.
Le vocabulaire à connaître
- image directe
- f(A) est l'ensemble des f(a) pour a ∈ A.
- image réciproque
- f⁻¹(B) est l'ensemble des x dont l'image est dans B.
- injective, surjective, bijective
- Injective : deux éléments distincts ont des images distinctes. Surjective : tout élément d'arrivée a un antécédent. Bijective : les deux à la fois.
- composée
- (g ∘ f)(x) = g(f(x)) : on applique f d'abord, puis g.
Ce qu'on sait
- Une application est bijective si et seulement si tout y a exactement un antécédent ; sa réciproque f⁻¹ se calcule en résolvant y = f(x) en x.
- La composition n'est pas commutative : en général g ∘ f ≠ f ∘ g.
- L'image réciproque : f⁻¹(B) est l'ensemble des x dont l'image est dans B. f⁻¹(B) existe pour toute application, même non bijective.
La méthode, étape par étape
1.Pour une image directe : f(A) est l'ensemble des f(a) pour a ∈ A., je calcule f en chaque élément de A et je range sans doublon.
2.Pour une image réciproque, je résous l'équation ou l'inéquation vérifiée par x.
3.Pour la réciproque, je pose y = f(x) et j'exprime x en fonction de y.
4.Pour une composée : (g ∘ f)(x) = g(f(x)) : on applique f d'abord, puis g., j'applique les fonctions de droite à gauche.
Pour inverser une application bijective, je résous y = f(x) en x ; pour la composer, j'applique d'abord celle de droite.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Soit f(x) = 2x + 3 de IR dans IR, et g(x) = x².
2.Réciproque : y = 2x + 3 donne x = (y − 3)/2, donc f⁻¹(y) = (y − 3)/2.
3.Contrôle : f(4) = 2 × 4 + 3 = 11 et (11 − 3)/2 = 4.
4.Composées : (g ∘ f)(1) = g(5) = 25, alors que (f ∘ g)(1) = f(1) = 5.