Algèbre · 1re Bac SM
Ensembles : extension, parties, De Morgan, produit cartésien
Un ensemble se décrit par la liste de ses éléments ou par une propriété : les opérations ensemblistes sont celles de la logique.
Le vocabulaire à connaître
- extension
- Décrire un ensemble en listant ses éléments : {1 ; 2 ; 3}.
- compréhension
- Décrire un ensemble par une propriété : {x ∈ IN / x ≤ 3}.
- P(E)
- L'ensemble des parties de E, c'est-à-dire de tous ses sous-ensembles (∅ et E compris).
- produit cartésien
- L'ensemble A × B des couples (a ; b) avec a ∈ A et b ∈ B.
Ce qu'on sait
- Union ↔ « ou », intersection ↔ « et », complémentaire ↔ « non », inclusion A ⊂ B ↔ implication x ∈ A ⇒ x ∈ B.
- Lois de De Morgan : E ∖ (A ∪ B) = (E ∖ A) ∩ (E ∖ B) et E ∖ (A ∩ B) = (E ∖ A) ∪ (E ∖ B).
- Si E a n éléments, P(E) : L'ensemble des parties de E, c'est-à-dire de tous ses sous-ensembles (∅ et E compris). en a 2ⁿ et A × B en a card(A) × card(B).
La méthode, étape par étape
1.Je traduis la propriété en ensemble : j'écris les éléments qui la vérifient.
2.Je distingue un élément (∈) d'une partie (⊂).
3.Pour une opération, je calcule les ensembles intermédiaires un par un.
4.Je vérifie par un contrôle de cardinal.
Pour calculer sur les ensembles, je passe par la logique : « ou » pour l'union, « et » pour l'intersection, « non » pour le complémentaire.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Dans E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8}, soit A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} et B = {3 ; 4 ; 5 ; 6}.
2.A ∪ B = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} donc E ∖ (A ∪ B) = {7 ; 8}.
3.De Morgan : E ∖ A = {5 ; 6 ; 7 ; 8} et E ∖ B = {1 ; 2 ; 7 ; 8}, d'intersection {7 ; 8}.
4.Contrôle des cardinaux : card(A ∪ B) = 4 + 4 − 2 = 6, et 8 − 6 = 2 éléments dans le complémentaire.