Nombres et calculs · 1re Bac SM
Dénombrement : choix, arrangements, combinaisons, binôme
Compter sans énumérer : l'arbre de choix et trois formules suffisent pour dénombrer podiums, comités et mots de passe.
Le vocabulaire à connaître
- arrangement
- Une liste ordonnée de p éléments pris parmi n, sans répétition : Aₙᵖ = n(n − 1)…(n − p + 1).
- permutation
- Un arrangement des n éléments eux-mêmes : il y en a n!.
- combinaison
- Une partie de p éléments pris parmi n, sans ordre : Cₙᵖ = Aₙᵖ / p!.
Ce qu'on sait
- Principe multiplicatif : si on fait des choix successifs indépendants, on multiplie les nombres de possibilités. card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B).
- Quand l'ordre compte : arrangement : Une liste ordonnée de p éléments pris parmi n, sans répétition : Aₙᵖ = n(n − 1)…(n − p + 1). ; quand il ne compte pas : combinaison : Une partie de p éléments pris parmi n, sans ordre : Cₙᵖ = Aₙᵖ / p!..
- Cₙᵖ = Cₙⁿ⁻ᵖ, Cₙᵖ + Cₙᵖ⁺¹ = Cₙ₊₁ᵖ⁺¹ et la formule du binôme : le coefficient de aⁿ⁻ᵏbᵏ dans (a + b)ⁿ est Cₙᵏ.
La méthode, étape par étape
1.Je dessine l'arbre des choix pour comprendre la situation.
2.Je me demande si l'ordre compte et si les répétitions sont permises.
3.Je choisis le modèle : produit, arrangement, permutation : Un arrangement des n éléments eux-mêmes : il y en a n!. ou combinaison.
4.Je calcule et je contrôle avec un cas plus petit.
Ordre qui compte : arrangement ; ordre sans importance : combinaison, et Cₙᵖ = Aₙᵖ / p!.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Dans une classe de 8 élèves, on choisit 3 délégués.
2.Avec un ordre (président, secrétaire, trésorier) : 8 × 7 × 6 = 336 arrangements.
3.Sans ordre : chaque groupe est compté 3! = 6 fois, donc 336 / 6 = 56 groupes.
4.Contrôle par la formule : C₈³ = 8 × 7 × 6 / (3 × 2 × 1) = 56.