Analyse · 1re Bac SM

Limites : polynômes, rationnelles, irrationnelles, trigonométriques

Que devient f(x) quand x devient très grand, ou se rapproche d'un point ? Quelques techniques font lever presque toutes les indéterminations.

Le vocabulaire à connaître

forme indéterminée: Un calcul de limite qui ne permet pas de conclure directement : 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 × ∞.
quantité conjuguée: Pour √a − √b, c'est √a + √b : leur produit vaut a − b, ce qui fait disparaître les racines.

En ±∞, un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré ; une fonction rationnelle, celle du quotient des termes dominants.
Limites usuelles en 0 : sin x/x ⟶ 1, tan x/x ⟶ 1, (1 − cos x)/x² ⟶ 1/2, sin(ax)/x ⟶ a.
Si |f(x) − l| est inférieur à ε pour x assez grand, alors f tend vers l ; si f(x) ≥ g(x) et g tend vers +∞, alors f tend vers +∞.

1.Je remplace x par la valeur visée pour voir si la forme est déterminée.

2.Sinon, j'ai une indétermination : je factorise, je simplifie, ou je multiplie par la .

3.Pour une limite trigonométrique, je me ramène à une limite usuelle par changement de variable.

4.Je conclus par la limite ou je précise qu'elle n'existe pas.

Face à une , je factorise, je simplifie ou je multiplie par la quantité conjuguée.

C.Q.F.D.

1.Calculons la limite en +∞ de √(x² + 4x) − x (forme ∞ − ∞).

2.Je multiplie par la quantité conjuguée : (x² + 4x − x²)/(√(x² + 4x) + x) = 4x/(√(x² + 4x) + x).

3.Je divise par x : 4/(√(1 + 4/x) + 1).

4.Quand x tend vers +∞, 4/x tend vers 0 : la limite est 4/(1 + 1) = 2.