Géométrie · TC sciences

Calcul vectoriel : somme, Chasles, coordonnées, milieu

Un , c'est un déplacement : on peut l'additionner, l'allonger, et s'en servir pour démontrer.

Le vocabulaire à connaître

vecteur: Un déplacement caractérisé par une direction, un sens et une longueur. AB est le déplacement qui mène de A à B.
coordonnées d'un vecteur: Le couple (xB − xA ; yB − yA) pour le vecteur AB.
parallélogramme: Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Relation de Chasles : AB + BC = AC.
Les opérations se font coordonnée par coordonnée : a(x ; y) + b(x′ ; y′) = (ax + bx′ ; ay + by′).
I est le milieu de [AB] si et seulement si IA + IB = 0. ABCD est un si et seulement si AB = DC.

1.Je calcule les coordonnées de chaque vecteur : arrivée moins départ.

2.Je fais les opérations demandées, coordonnée par coordonnée.

3.Je traduis la propriété géométrique (parallélogramme, milieu) par une égalité de vecteurs.

4.Je résous et je vérifie.

Pour calculer sur les vecteurs, j'opère coordonnée par coordonnée.

C.Q.F.D.

1.Soit A(1 ; 2), B(4 ; 3) et C(5 ; 6). Cherchons D pour que ABCD soit un parallélogramme.

2.AB a pour coordonnées (3 ; 1), car 4 − 1 = 3 et 3 − 2 = 1.

3.DC a pour coordonnées (5 − x ; 6 − y) si D est le point (x ; y).

4.AB = DC donne 5 − x = 3 et 6 − y = 1, donc x = 2 et y = 5.

5.Contrôle : 5 − 2 = 3 et 6 − 5 = 1. D est le point (2 ; 5).