Géométrie · TC sciences

Colinéarité, projection et théorème de Thalès

Deux pointent dans la même direction : cette idée prouve les alignements et les parallélismes.

Le vocabulaire à connaître

vecteurs colinéaires: Deux vecteurs dont l'un est un multiple de l'autre : ils ont la même direction.
déterminant de deux vecteurs: Pour (x ; y) et (x′ ; y′), le nombre xy′ − x′y.
projection: Transformation qui envoie chaque point sur une droite, en suivant toujours la même direction.

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul. Trois points A, B, C sont alignés si AB et AC sont colinéaires.
Thalès : si (MN) est parallèle à (BC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Réciproque : si M est sur [AB], N sur [AC] et AM/AB = AN/AC, alors (MN) est parallèle à (BC). La conserve le coefficient de colinéarité.

1.Pour un alignement, je calcule les coordonnées de AB et AC, puis leur déterminant.

2.Pour Thalès, je repère le triangle et les deux droites parallèles.

3.J'écris l'égalité des rapports, en partant toujours du sommet commun A.

4.Je résous avec le produit en croix, ou je compare les deux rapports pour la réciproque.

Colinéaires si et seulement si le déterminant est nul ; parallèles dans un triangle si et seulement si les rapports sont égaux.

C.Q.F.D.

1.On donne AM = 4, AB = 10, AN = 6 et AC = 15. M est sur [AB] et N sur [AC]. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?

2.Je calcule le premier rapport : 4/10 = 2/5.

3.Je calcule le second : 6/15 = 2/5.

4.Les deux rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre sur les deux côtés : d'après la réciproque de Thalès, (MN) est parallèle à (BC).

5.L'égalité qui le prouve est 4/10 = 6/15.