Géométrie · TC sciences
La droite dans le plan : vecteur directeur, équations, position relative
Une droite se décrit par un point et une direction : un seul vecteur suffit pour écrire son équation.
Le vocabulaire à connaître
- vecteur directeur
- Un vecteur non nul qui a la même direction que la droite.
- équation cartésienne
- Une équation de la forme ax + by + c = 0 vérifiée par les coordonnées des points de la droite et d'eux seuls.
- représentation paramétrique
- Le système x = x₀ + αt et y = y₀ + βt, où t est un réel : chaque valeur de t donne un point de la droite.
Ce qu'on sait
- La droite ax + by + c = 0 a pour vecteur directeur : Un vecteur non nul qui a la même direction que la droite. (−b ; a).
- La droite passant par A(xA ; yA) et dirigée par (α ; β) a pour équation β(x − xA) − α(y − yA) = 0.
- Deux droites sont sécantes si ab′ − a′b est différent de 0 ; si ce nombre est nul, elles sont parallèles (confondues ou strictement parallèles).
La méthode, étape par étape
1.Je trouve un point A de la droite et un vecteur directeur : AB si on donne deux points.
2.J'écris que M(x ; y) est sur la droite si AM et le vecteur directeur sont colinéaires.
3.Je développe et je simplifie pour obtenir ax + by + c = 0.
4.Je vérifie avec les coordonnées de A.
Un point et un vecteur directeur suffisent pour écrire l'équation cartésienne : Une équation de la forme ax + by + c = 0 vérifiée par les coordonnées des points de la droite et d'eux seuls. d'une droite.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Cherchons la droite passant par A(1 ; 2) avec le vecteur directeur (3 ; −2).
2.M(x ; y) est sur la droite si AM de coordonnées (x − 1 ; y − 2) est colinéaire à (3 ; −2).
3.Le déterminant doit être nul : (x − 1) × (−2) − (y − 2) × 3 = 0.
4.Je développe : −2x + 2 − 3y + 6 = 0, donc 2x + 3y − 8 = 0.
5.Contrôle avec A : 2 × 1 + 3 × 2 − 8 = 0.