Géométrie · TC sciences

Produit scalaire : distance, orthogonalité, médiane, Al-Kashi

Un seul calcul, xx′ + yy′, donne les longueurs, les angles droits et les côtés d'un triangle.

Le vocabulaire à connaître

produit scalaire: Le nombre u ⋅ v associé à deux vecteurs. C'est un nombre, pas un vecteur.
norme: La longueur d'un vecteur : ‖(x ; y)‖ = √(x² + y²) dans un repère orthonormé.
médiane: Le segment qui joint un sommet du triangle au milieu du côté opposé.

Dans un repère orthonormé, (x ; y) ⋅ (x′ ; y′) = xx′ + yy′ et la distance AB est la de AB.
u ⋅ v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur est nul.
: AB² + AC² = 2AI² + BC²/2. Al-Kashi : BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos A.

1.Je choisis l'expression du produit scalaire selon les données : coordonnées, ou normes et angle.

2.Je calcule.

3.J'interprète : résultat nul, vecteurs orthogonaux ; racine de la somme des carrés, distance.

4.Dans un triangle, je choisis la formule (médiane ou Al-Kashi) selon les côtés et l'angle connus.

Produit scalaire nul : vecteurs orthogonaux. Norme du vecteur AB : distance AB.

C.Q.F.D.

1.Montrons que (3 ; 2) et (−2 ; 3) sont orthogonaux dans un repère orthonormé.

2.Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de (x ; y) et (x′ ; y′) vaut xx′ + yy′.

3.3 × (−2) = −6 et 2 × 3 = 6.

4.Donc 3 × (−2) + 2 × 3 = −6 + 6 = 0.

5.Le produit scalaire est nul : les deux vecteurs sont orthogonaux.