Nombres et calculs · 2nde
ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ : trouver le plus petit ensemble
Cinq ensembles emboîtés comme des poupées russes : ℕ dans ℤ, ℤ dans 𝔻, 𝔻 dans ℚ, ℚ dans ℝ.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- nombre décimal
- Un nombre qui s'écrit avec un nombre FINI de chiffres après la virgule.
- nombre irrationnel
- Un nombre réel qui n'est le quotient d'aucun couple d'entiers.
Ce qu'on sait
- ℕ est inclus dans ℤ, qui est inclus dans 𝔻, qui est inclus dans ℚ, qui est inclus dans ℝ : chaque ensemble contient tous les précédents.
- Une fraction est décimale si et seulement si son dénominateur, une fois la fraction simplifiée, n'a que 2 et 5 comme facteurs premiers.
- Un nombre irrationnel : Un nombre réel qui n'est le quotient d'aucun couple d'entiers., comme √2 ou π, appartient à ℝ mais pas à ℚ.
La méthode, étape par étape
1.Je vérifie d'abord si le nombre est un entier : s'il est positif ou nul, il est dans ℕ ; sinon, seulement dans ℤ.
2.S'il n'est pas entier, je regarde s'il s'écrit avec un nombre fini de décimales : c'est alors un élément de 𝔻.
3.S'il n'est pas décimal mais qu'il est le quotient de deux entiers, il appartient à ℚ.
4.S'il n'est le quotient d'aucun couple d'entiers, comme √2, il n'appartient qu'à ℝ.
Je pars du plus petit ensemble (ℕ) et je remonte jusqu'au premier qui contient le nombre.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Cherchons le plus petit ensemble contenant 7/20.
2.7/20 n'est pas un nombre entier : il n'appartient ni à ℕ ni à ℤ.
3.Le dénominateur 20 = 2² × 5 n'a que 2 et 5 comme facteurs premiers, donc 7/20 = 0,35 : un nombre fini de décimales.
4.7/20 est donc un nombre décimal : Un nombre qui s'écrit avec un nombre FINI de chiffres après la virgule. : 7/20 ∈ 𝔻, le plus petit ensemble qui le contient.