Nombres et calculs · 2nde
Démonstration : le nombre rationnel 1/3 n'est pas décimal
Un nombre décimal : Un nombre qui s'écrit n/10ᵏ, avec n un entier et k un entier naturel : un nombre fini de chiffres après la virgule. a toujours un nombre FINI de chiffres après la virgule : 1/3 n'en a jamais fini.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- nombre décimal
- Un nombre qui s'écrit n/10ᵏ, avec n un entier et k un entier naturel : un nombre fini de chiffres après la virgule.
Ce qu'on sait
- Un nombre décimal s'écrit sous la forme n/10ᵏ, où n est un entier et k un entier naturel.
- 10ᵏ = 2ᵏ × 5ᵏ : ses seuls facteurs premiers possibles sont 2 et 5.
- 3 est un nombre premier différent de 2 et de 5, donc 3 ne peut diviser aucune puissance de 10.
La méthode, étape par étape
1.Je raisonne par l'absurde : je suppose que 1/3 est un nombre décimal.
2.Il existerait alors des entiers n et k tels que 1/3 = n/10ᵏ.
3.En multipliant les deux membres par 3 × 10ᵏ, j'obtiens 10ᵏ = 3n.
4.10ᵏ = 2ᵏ × 5ᵏ ne contient que les facteurs premiers 2 et 5. Or 3n est un multiple de 3 : l'égalité obligerait 3 à diviser 10ᵏ, ce qui est impossible car 3 est premier et différent de 2 et de 5.
5.J'aboutis à une contradiction : l'hypothèse de départ est fausse. Le nombre 1/3 n'est pas décimal.
Le nombre rationnel 1/3 n'est pas décimal.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Testons si une puissance de 10 peut être un multiple de 3.
2.10³ = 1 000.
3.La somme des chiffres de 1 000 vaut 1 : elle n'est pas un multiple de 3, donc 1 000 n'est pas un multiple de 3.
4.10⁶ = 1 000 000.
5.La somme des chiffres de 1 000 000 vaut encore 1 : quel que soit l'exposant, aucune puissance de 10 n'est un multiple de 3.