Géométrie · 1re Bac SM

Espace : colinéarité, coplanarité, droites et plans analytiques

Dans l'espace, une droite ou un plan se décrit par un point et des directions : le dit si trois vecteurs sont dans un même plan.

Le vocabulaire à connaître

coplanaires: Trois vecteurs sont coplanaires si leurs représentants issus d'un même point sont dans un même plan.
déterminant: Le nombre det(u ; v ; w) calculé à partir des coordonnées ; il est nul si et seulement si u, v, w sont coplanaires.
équation cartésienne d'un plan: Une équation ax + by + cz + d = 0 vérifiée par les points du plan.

Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles ; trois vecteurs sont si leur déterminant est nul.
Une droite est décrite par un point A et un vecteur directeur u : M ∈ (D) équivaut à AM = t u, soit x = x_A + t u₁, etc.
Pour l'intersection d'une droite et d'un plan, on remplace la paramétrique de la droite dans l'équation du plan : on obtient une équation en t.

1.Je calcule les coordonnées des vecteurs (arrivée moins départ).

2.Pour la colinéarité, je cherche le coefficient de proportionnalité ; pour la coplanarité, je calcule le déterminant.

3.Pour une position relative, j'écris la droite en paramétrique et le plan en cartésienne.

4.J'interprète : une solution, aucune, ou une infinité.

Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur déterminant est nul.

C.Q.F.D.

1.Les vecteurs u(1 ; 0 ; 2), v(2 ; 1 ; 0), w(3 ; 1 ; 2) sont-ils coplanaires ?

2.det = 1 × (1 × 2 − 0 × 1) − 0 × (2 × 2 − 0 × 3) + 2 × (2 × 1 − 1 × 3) = 0.

3.Le déterminant est nul : les trois vecteurs sont coplanaires.

4.Contrôle : u + v = (3 ; 1 ; 2), c'est-à-dire w.