Géométrie · 1re Bac SM

Le cercle : équation, paramétrage, droite et tangente

Un cercle est un ensemble de points à distance fixe d'un centre : l'équation le décrit, le paramètre le dessine.

Le vocabulaire à connaître

équation cartésienne: Pour le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r : (x − a)² + (y − b)² = r².
représentation paramétrique: x = a + r cos(t) et y = b + r sin(t), avec t réel.
tangente: La droite qui touche le cercle en un seul point, perpendiculaire au rayon en ce point.

x² + y² + αx + βy + γ = 0 a pour centre (−α/2 ; −β/2) et pour carré du rayon α²/4 + β²/4 − γ : cercle si positif, point si nul, ensemble vide si négatif.
La en M₀(x₀ ; y₀) a pour équation (x₀ − a)(x − a) + (y₀ − b)(y − b) = r².
Une droite coupe le cercle en deux points si sa distance au centre est inférieure à r, est tangente si elle est égale à r.

1.Je regroupe les termes en x et en y en carrés parfaits.

2.Je lis le centre et le rayon, en vérifiant que le second membre est positif.

3.Pour un paramétrage, j'écris le centre plus r fois (cos t ; sin t).

4.Pour une tangente, j'utilise le vecteur ΩM₀ comme vecteur normal.

Pour reconnaître un cercle, je complète les carrés : le centre est l'opposé de la moitié des coefficients.

C.Q.F.D.

1.Étudions x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0.

2.x² − 6x = (x − 3)² − 9 et y² + 4y = (y + 2)² − 4.

3.L'équation devient (x − 3)² + (y + 2)² = 9 + 4 + 12 = 25.

4.C'est le cercle de centre (3 ; −2) et de rayon 5. Il est paramétré par x = 3 + 5cos(t), y = −2 + 5sin(t).

5.Tangente en M₀(7 ; 1) : 4 × (x − 3) + 3 × (y + 2) = 25, soit 4x + 3y − 31 = 0, et 4 × 7 + 3 × 1 − 31 = 0.