Géométrie · 1re Bac SM

La rotation : image, composée, réciproque, symétries

Une fait tourner le plan autour d'un point sans rien déformer : elle transporte figures, angles et barycentres.

Le vocabulaire à connaître

rotation: La transformation de centre Ω et d'angle θ qui envoie M sur M′ tel que ΩM′ = ΩM et que l'angle orienté de ΩM vers ΩM′ mesure θ.
isométrie: Une transformation qui conserve les distances.
rotation réciproque: La rotation de même centre et d'angle opposé : elle défait la première.

Une rotation conserve les distances, les angles orientés, le barycentre, le contact, le parallélisme et l'orthogonalité ; l'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
La composée de deux rotations d'angles α et β est une rotation d'angle α + β, ou une translation si α + β est un multiple de 360°.
La composée de deux symétries axiales d'axes sécants en O et formant un angle θ est la rotation de centre O d'angle 2θ.

1.Je me ramène au centre : je calcule le vecteur ΩM.

2.J'applique la rotation à ce vecteur (pour 90° : (x ; y) devient (−y ; x)).

3.Je recompose le point image à partir du centre.

4.Je contrôle que les distances et l'angle sont bien conservés.

Pour un quart de tour de centre O, (x ; y) devient (−y ; x) ; les distances à O sont conservées.

C.Q.F.D.

1.Image de A(3 ; 2) par la rotation de centre O et d'angle 90° : A′(−2 ; 3).

2.Distances : OA = √(3² + 2²) = √13 et OA′ = √((−2)² + 3²) = √13.

3.Orthogonalité des rayons : OA ⋅ OA′ = 3 × (−2) + 2 × 3 = 0, l'angle est bien de 90°.