Géométrie · 1re Bac SM

Produit scalaire analytique, angles, aires et droites

Avec les coordonnées, le transforme orthogonalité, angles et distances en simples calculs.

Le vocabulaire à connaître

produit scalaire: Dans un repère orthonormé, (x ; y) ⋅ (x′ ; y′) = xx′ + yy′.
vecteur normal: Un vecteur orthogonal à une droite : la droite ax + by + c = 0 a pour vecteur normal (a ; b).

u ⋅ v = 0 si et seulement si u et v sont orthogonaux ; cos θ = u ⋅ v/(‖u‖ ‖v‖).
La distance de M(x₀ ; y₀) à la droite ax + by + c = 0 vaut |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²).
L'ensemble des points M tels que MA ⋅ MB = 0 est le cercle de diamètre [AB].

1.Je calcule les coordonnées des vecteurs : arrivée moins départ.

2.J'applique la formule du produit scalaire, ou celle de la norme.

3.Pour une droite, je lis le dans l'équation.

4.Je conclus par une égalité, un angle ou une distance.

Orthogonalité : produit scalaire nul. Distance d'un point à une droite : |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²).

C.Q.F.D.

1.Distance de M(2 ; 5) à la droite 3x + 4y − 10 = 0.

2.Numérateur : |3 × 2 + 4 × 5 − 10| = |16| = 16.

3.Dénominateur : √(3² + 4²) = √25 = 5.

4.La distance vaut 16/5, soit 3,2.