Géométrie · 1re Bac SM

Espace : plan normal, sphère, produit vectoriel

Le produit scalaire donne les plans et les , le donne le vecteur normal et l'aire : deux outils pour toute la géométrie de l'espace.

Le vocabulaire à connaître

produit vectoriel: Le vecteur u ∧ v, orthogonal à u et à v, de norme égale à l'aire du parallélogramme construit sur u et v.
sphère: L'ensemble des points à distance r d'un point Ω : (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r².

u ⋅ v = xx′ + yy′ + zz′. Le plan passant par A de vecteur normal n a pour équation n ⋅ AM = 0 ; la distance de M à ax + by + cz + d = 0 vaut |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√(a² + b² + c²).
L'ensemble des points M tels que MA ⋅ MB = 0 est la sphère de diamètre [AB].
Dans une base orthonormée directe, u ∧ v = (yz′ − zy′ ; zx′ − xz′ ; xy′ − yx′) ; l'aire du triangle ABC vaut la moitié de la norme de AB ∧ AC, et ce vecteur est normal au plan (ABC).

1.Je calcule les coordonnées des vecteurs utiles.

2.Je calcule le produit scalaire ou le produit vectoriel.

3.Je lis le vecteur normal et j'écris l'équation avec un point connu.

4.Je vérifie en remplaçant les coordonnées d'un point du plan.

Un plan passant par trois points A, B, C est dirigé par le vecteur normal AB ∧ AC.

C.Q.F.D.

1.Plan (ABC) avec A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0), C(0 ; 0 ; 3) : AB(−1 ; 2 ; 0) et AC(−1 ; 0 ; 3).

2.Produit vectoriel : 2 × 3 − 0 × 0 = 6, 0 × (−1) − (−1) × 3 = 3, (−1) × 0 − 2 × (−1) = 2, soit (6 ; 3 ; 2).

3.Équation : 6x + 3y + 2z + d = 0 et A donne 6 × 1 + 3 × 0 + 2 × 0 + d = 0, donc d = −6.

4.Aire : √(6² + 3² + 2²) = √49 = 7, l'aire du triangle ABC vaut 7/2.