Géométrie · 1re Bac SM

Barycentre de deux, trois points : calcul, alignement, lieux

Le est le point d'équilibre de masses placées en des points : il simplifie les sommes de vecteurs et prouve alignements et concours.

Le vocabulaire à connaître

point pondéré: Un couple (A ; a) formé d'un point A et d'un coefficient a (un réel).
barycentre: Pour a + b ≠ 0, c'est l'unique point G tel que aGA + bGB = 0.
centre de gravité: Le barycentre de (A ; 1), (B ; 1), (C ; 1) : le point de rencontre des trois médianes.

Pour tout point M, si G est le barycentre de (A ; a) et (B ; b), alors aMA + bMB = (a + b)MG, et AG = (b/(a + b))AB.
Coordonnées : x_G = (a·x_A + b·x_B)/(a + b) et de même pour y (et z). Cela marche pour trois ou quatre points.
Associativité : on peut remplacer un groupe de par leur barycentre affecté de la somme des coefficients.

1.Je vérifie que la somme des coefficients n'est pas nulle.

2.Pour simplifier une somme de vecteurs, j'introduis G et j'écris tout avec MG.

3.Pour un alignement ou un concours, j'exprime G de deux façons grâce à l'associativité.

4.Pour un lieu, je me ramène à une distance MG constante.

Si G est le barycentre de (A ; a) et (B ; b), alors aMA + bMB = (a + b)MG pour tout point M.

C.Q.F.D.

1.Soit A(1 ; 2), B(7 ; 5) et G le barycentre de (A ; 1) et (B ; 2).

2.x_G = (1 × 1 + 2 × 7)/3 = 5 et y_G = (1 × 2 + 2 × 5)/3 = 4.

3.Donc G a pour coordonnées (5 ; 4).

4.Contrôle : AB a pour coordonnées (6 ; 3), et 2/3 × 6 = 4, 2/3 × 3 = 2 : AG = (4 ; 2), donc G = (5 ; 4).