Analyse · Tle
Démonstration : deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante
Deux fonctions qui ont la même dérivée partout sur un intervalle ne peuvent différer que d'un décalage constant.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- fonction constante
- Une fonction dont la dérivée est nulle sur tout un intervalle est nécessairement constante sur cet intervalle (résultat admis, lié au sens de variation).
Ce qu'on sait
- Une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle.
- F et G sont deux primitives de f sur I signifie F′ = f et G′ = f sur I.
La méthode, étape par étape
1.Je suppose que F et G sont deux primitives d'une même fonction f, continue sur un intervalle I : F′ = f et G′ = f sur I.
2.Je pose la fonction différence h = F − G, définie et dérivable sur I.
3.Je calcule sa dérivée : h′ = F′ − G′ = f − f = 0 sur tout l'intervalle I.
4.Une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle : il existe donc un réel k tel que h(x) = k pour tout x de I.
5.J'en déduis F(x) − G(x) = k, soit F(x) = G(x) + k : F et G diffèrent bien d'une constante.
Si F et G sont deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle I, alors il existe un réel k tel que F = G + k sur I.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.F(x) = x³ et G(x) = x³ + 5 sont toutes deux des primitives de f(x) = 3x² sur ℝ.
2.Leur différence F(x) − G(x) = −5 est bien constante.