Analyse · 1re
L'équation de la tangente
Un point et une pente suffisent à écrire l'équation d'une droite : la tangente ne fait pas exception.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- approximation linéaire
- Remplacer f(a + h), pour h proche de 0, par la valeur f(a) + f′(a)h lue sur la tangente plutôt que sur la courbe.
Ce qu'on sait
- La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation y = f(a) + f′(a)(x − a).
- Le coefficient directeur de cette droite est le nombre dérivé f′(a) ; elle passe par le point (a ; f(a)).
- Près du point de tangence, la courbe et la tangente sont presque confondues : c'est ce qui permet d'approcher f(a + h) par f(a) + f′(a)h.
La méthode, étape par étape
1.Je repère l'abscisse a du point de tangence, et je calcule ou je lis f(a) et f′(a).
2.J'écris l'équation sous la forme y = f′(a)(x − a) + f(a), en remplaçant a, f(a) et f′(a) par leurs valeurs.
3.Je développe et je réduis pour obtenir l'équation réduite y = mx + p.
4.Pour une valeur approchée de f(a + h), je remplace x par a + h dans l'équation de la tangente, ce qui revient à calculer f(a) + f′(a)h.
La tangente au point d'abscisse a a pour équation y = f(a) + f′(a)(x − a) ; elle donne l'approximation f(a + h) ≈ f(a) + f′(a)h.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour f telle que f(3) = 9 et f′(3) = 6, l'équation de la tangente en 3 est y = 6(x − 3) + 9.
2.Je développe : y = 6x − 18 + 9 = 6x − 9.
3.Une valeur approchée de f(3,1) est alors 9 + 6 × 0,1 = 9,6.