Analyse · 1re
Les dérivées des fonctions de référence
Quatre fonctions, quatre dérivées à connaître par cœur : le reste du chapitre s'appuie dessus.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- fonction dérivable
- Une fonction qui admet un nombre dérivé en chacun des points d'un intervalle.
- fonction dérivée
- La fonction qui, à chaque réel a d'un intervalle, associe le nombre dérivé f′(a) — notée f′.
Ce qu'on sait
- La fonction dérivée : La fonction qui, à chaque réel a d'un intervalle, associe le nombre dérivé f′(a) — notée f′. de la fonction carré x ↦ x² est x ↦ 2x ; celle de la fonction cube x ↦ x³ est x ↦ 3x².
- La fonction dérivée de la fonction inverse x ↦ 1/x est x ↦ −1/x² ; celle de la fonction racine carrée x ↦ √x est x ↦ 1/(2√x).
- Pour n dans ℤ, la fonction dérivée de x ↦ xⁿ est x ↦ n × xⁿ⁻¹.
- La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
La méthode, étape par étape
1.Je repère à quelle fonction de référence appartient f (carré, cube, inverse, racine carrée, ou x ↦ xⁿ).
2.J'applique la formule de dérivée correspondante, sans jamais changer l'exposant sans changer aussi le coefficient.
3.Je calcule la valeur de la dérivée au point demandé, en remplaçant x par sa valeur.
4.Pour la valeur absolue en 0, je garde en tête qu'elle n'y est pas dérivable, même si elle y est parfaitement définie.
(x²)′ = 2x ; (x³)′ = 3x² ; (1/x)′ = −1/x² ; (√x)′ = 1/(2√x) ; (xⁿ)′ = n × xⁿ⁻¹.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Calculons la dérivée de f(x) = x³ en −2.
2.f′(x) = 3x².
3.f′(−2) = 3 × (−2)² = 3 × 4 = 12.