Analyse · 1re
Variations et signe de la dérivée
Le signe de f′ raconte toute l'histoire des variations de f, sans avoir besoin de tracer sa courbe.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- extremum
- Le maximum ou le minimum d'une fonction sur un intervalle.
- problème d'optimisation
- Un problème où l'on cherche la valeur d'une variable qui rend une quantité (aire, coût, durée…) maximale ou minimale.
Ce qu'on sait
- Si f′(x) ≥ 0 sur un intervalle, f est croissante sur cet intervalle ; si f′(x) ≤ 0, f est décroissante.
- Un extremum : Le maximum ou le minimum d'une fonction sur un intervalle. de f est atteint là où f′ s'annule en changeant de signe : la tangente y est alors horizontale.
- Pour une fonction polynôme du second degré, le signe du coefficient de x² donne l'allure de la parabole : positif, elle est tournée vers le haut (minimum) ; négatif, vers le bas (maximum).
La méthode, étape par étape
1.Je calcule la fonction dérivée f′, puis j'étudie son signe (souvent à l'aide d'un tableau de signes).
2.Je traduis le signe de f′ en variations de f : positive, f croît ; négative, f décroît.
3.Je repère les valeurs où f′ s'annule en changeant de signe : ce sont les extremums de f.
4.Pour un problème d'optimisation : Un problème où l'on cherche la valeur d'une variable qui rend une quantité (aire, coût, durée…) maximale ou minimale., j'exprime la quantité à optimiser en fonction d'une seule variable, je dérive, j'étudie le signe, puis je conclus sur le maximum ou le minimum cherché.
f′ positive : f croissante. f′ négative : f décroissante. f′ nulle avec changement de signe : extremum de f.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Étudions f(x) = x² − 4x + 1.
2.f′(x) = 2x − 4, qui s'annule en x = 2 : négative avant, positive après.
3.f est donc décroissante puis croissante, avec un minimum en x = 2, qui vaut f(2) = −3.