Analyse · 1re
Taux de variation et nombre dérivé
Le taux de variation : Pour une fonction f et deux réels a et a + h, le quotient (f(a + h) − f(a)) / h : la pente de la sécante joignant les points d'abscisses a et a + h. mesure la pente d'une sécante : La droite qui joint deux points distincts d'une courbe. ; quand les deux points se rapprochent, cette pente se rapproche à son tour d'un nombre : le nombre dérivé : Le nombre dont le taux de variation de f en a se rapproche quand h se rapproche de 0, noté f′(a) (« f prime de a »)..
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- taux de variation
- Pour une fonction f et deux réels a et a + h, le quotient (f(a + h) − f(a)) / h : la pente de la sécante joignant les points d'abscisses a et a + h.
- nombre dérivé
- Le nombre dont le taux de variation de f en a se rapproche quand h se rapproche de 0, noté f′(a) (« f prime de a »).
- sécante
- La droite qui joint deux points distincts d'une courbe.
- tangente
- La droite « limite » des sécantes en un point, quand le second point se rapproche du premier.
Ce qu'on sait
- Le taux de variation de f entre a et a + h se calcule par (f(a + h) − f(a)) / h : c'est la pente de la sécante.
- Quand h se rapproche de 0, ce taux de variation se rapproche du nombre dérivé f′(a), la pente de la tangente : La droite « limite » des sécantes en un point, quand le second point se rapproche du premier. en a.
- Le nombre dérivé s'interprète selon le contexte : pente d'une tangente en géométrie, vitesse instantanée en cinématique, coût marginal en économie.
La méthode, étape par étape
1.Pour calculer un taux de variation entre a et b, je calcule (f(b) − f(a)) / (b − a) — jamais dans le sens inverse.
2.Pour approcher un nombre dérivé numériquement, je calcule le taux de variation pour des valeurs de h de plus en plus petites, et j'observe vers quel nombre il se rapproche.
3.Pour lire un nombre dérivé sur un graphique, je repère la tangente au point considéré, et j'en lis la pente comme pour une droite.
4.Pour interpréter un nombre dérivé en contexte, je reformule sa valeur avec l'unité adaptée : une vitesse, un coût par unité, etc.
Le taux de variation est la pente d'une sécante ; le nombre dérivé f′(a) est la pente de la tangente, limite de ces sécantes.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour f(x) = x², calculons le taux de variation entre 3 et 3,01.
2.f(3,01) = 9,0601 et f(3) = 9.
3.(9,0601 − 9) / 0,01 = 6,01.
4.Ce taux se rapproche de 6 quand h se rapproche de 0 : le nombre dérivé f′(3) vaut 6.