Analyse · 1re
La fonction exponentielle
Une fonction égale à sa propre dérivée : voilà ce qui rend l'exponentielle unique, et si utile pour modéliser une évolution.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- fonction exponentielle
- L'unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f′ = f et f(0) = 1, notée exp(x) ou eˣ.
- nombre e
- La valeur de la fonction exponentielle en 1, soit e¹ = e, un nombre proche de 2,718.
Ce qu'on sait
- La fonction exponentielle : L'unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f′ = f et f(0) = 1, notée exp(x) ou eˣ. vérifie f′ = f et f(0) = 1 ; son existence et son unicité sont admises.
- Pour tous réels x et y : exp(x + y) = exp(x) exp(y) et exp(x) exp(−x) = 1.
- La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur ℝ tout entier.
La méthode, étape par étape
1.Pour transformer un produit d'exponentielles, j'additionne leurs exposants : eˣ × eʸ = eˣ⁺ʸ.
2.Pour dériver t ↦ eᵃᵗ, je multiplie par le coefficient a : la dérivée est t ↦ a × eᵃᵗ.
3.Pour comparer deux valeurs de l'exponentielle sans calculatrice, je compare directement leurs exposants, car la fonction est strictement croissante.
4.Pour modéliser une évolution, je choisis le signe du coefficient dans l'exposant : positif pour une croissance, négatif pour une décroissance.
exp(x + y) = exp(x) exp(y) ; (eᵃᵗ)′ = a × eᵃᵗ ; eˣ toujours strictement positif, strictement croissant.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Simplifions eˣ × e³ˣ.
2.J'additionne les exposants : x + 3x = 4x.
3.eˣ × e³ˣ = e⁴ˣ.