Analyse · 1re
Dérivées et opérations
Somme, produit, inverse, quotient : quatre règles pour dériver une fonction construite à partir d'autres.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- terme croisé
- Dans la démonstration de la dérivée d'un produit, un terme ajouté puis retranché pour faire apparaître séparément le taux de variation de chaque facteur.
Ce qu'on sait
- Pour u et v dérivables : (u + v)′ = u′ + v′.
- Pour un produit : (uv)′ = u′v + uv′ — jamais u′v′.
- Pour un inverse (v ne s'annulant pas) : (1/v)′ = −v′/v².
- Pour un quotient (v ne s'annulant pas) : (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
La méthode, étape par étape
1.Je repère l'opération principale de f : une somme, un produit, un inverse ou un quotient.
2.Je nomme u et v (et parfois une constante), et je calcule u′ et v′.
3.J'applique la formule correspondant à l'opération repérée, sans jamais dériver chaque facteur séparément puis les multiplier.
4.Je réduis l'expression obtenue, puis je calcule sa valeur au point demandé si besoin.
(u + v)′ = u′ + v′ ; (uv)′ = u′v + uv′ ; (1/v)′ = −v′/v² ; (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Dérivons f(x) = (x + 1)(x − 2), avec u(x) = x + 1 et v(x) = x − 2.
2.u′(x) = 1 et v′(x) = 1.
3.f′(x) = 1 × (x − 2) + (x + 1) × 1 = 2x − 1.