Analyse · Tle
Démonstration : la croissance comparée de xⁿ et de l'exponentielle en +∞
Répéter le même argument, une fois par degré de puissance : c'est ainsi que l'exponentielle finit par écraser n'importe quelle puissance de x.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- factorielle
- Pour un entier k, k! = 1 × 2 × … × k (et 0! = 1) : un nombre qui apparait dans la minoration de l'exponentielle par les puissances de x.
Ce qu'on sait
- limx ⟶ +∞ eˣ = +∞, et eˣ > x pour tout réel x (démonstration précédente).
- Une fonction dont la dérivée est strictement positive sur un intervalle y est strictement croissante.
- Le principe de récurrence : initialisation, hérédité, conclusion.
La méthode, étape par étape
1.Je démontre par récurrence sur n que, pour tout réel x strictement positif, eˣ > xⁿ⁺¹ / (n + 1)!.
2.Initialisation (n = 0) : il s'agit de eˣ > x, déjà établi dans la démonstration précédente.
3.Hérédité : je suppose eˣ > xⁿ⁺¹ / (n + 1)! pour tout x strictement positif. Je pose φ(x) = eˣ − xⁿ⁺² / (n + 2)!, de dérivée φ′(x) = eˣ − xⁿ⁺¹ / (n + 1)!, strictement positive sur ]0 ; +∞[ par hypothèse de récurrence : φ est donc strictement croissante sur [0 ; +∞[.
4.Comme φ(0) = 1, φ est strictement positive sur ]0 ; +∞[, ce qui donne eˣ > xⁿ⁺² / (n + 2)! : l'hérédité est établie.
5.Par récurrence, eˣ > xⁿ⁺¹ / (n + 1)! pour tout entier n et tout x strictement positif.
6.J'en déduis, pour x strictement positif : 0 ≤ xⁿ / eˣ ≤ (n + 1)! / x. Le majorant (n + 1)! / x tend vers 0 en +∞, et le minorant vaut 0 : par le théorème des gendarmes, xⁿ / eˣ tend vers 0.
Pour tout entier n, limx ⟶ +∞ xⁿ / eˣ = 0 : en +∞, l'exponentielle l'emporte toujours sur n'importe quelle puissance de x.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour n = 3, x³ / eˣ vaut environ 1,34 en x = 3, son maximum.
2.En x = 10, il ne vaut plus qu'environ 0,045.
3.En x = 20, il est déjà inférieur à 0,0001 : le quotient s'écrase bien vers 0.