Analyse · 1re
Démonstration : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0
La courbe de la racine carrée part de l'origine presque à la verticale : son taux de variation le confirme par le calcul.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- simplifier par √h
- Pour h strictement positif, h = √h × √h : cette écriture transforme le quotient √h/h en 1/√h, dont on sait étudier le comportement près de 0.
Ce qu'on sait
- Le nombre dérivé en 0, s'il existe, est le nombre dont se rapproche le taux de variation (f(h) − f(0))/h quand h se rapproche de 0.
- La fonction racine carrée est définie sur [0 ; +∞[, donc h doit être positif pour étudier son taux de variation en 0.
La méthode, étape par étape
1.Je calcule le taux de variation de la fonction racine carrée entre 0 et h, pour h strictement positif : (√h − √0)/h = √h/h.
2.Je simplifie : √h/h = √h/(√h × √h) = 1/√h.
3.Quand h se rapproche de 0 (par valeurs positives), √h se rapproche de 0, donc 1/√h devient arbitrairement grand.
4.Le taux de variation ne se rapproche donc d'aucun nombre fini : il n'y a pas de nombre dérivé en 0.
5.La fonction racine carrée n'est donc pas dérivable en 0 (sa courbe admet toutefois une tangente verticale en ce point).
Le taux de variation 1/√h devient arbitrairement grand quand h se rapproche de 0 : la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Pour h = 0,01 : 1/√0,01 = 1/0,1 = 10.
2.Pour h = 0,0001 : 1/√0,0001 = 1/0,01 = 100.
3.Le taux de variation grandit sans limite quand h se rapproche de 0 : il ne peut donc pas y avoir de nombre dérivé.