Géométrie · 1re
Démonstration : caractériser le cercle de diamètre [AB] par le produit scalaire
Passer par le milieu d'un segment transforme un produit scalaire compliqué en une simple identité remarquable — et révèle un cercle tout entier.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- cercle de diamètre [AB]
- Le cercle de centre le milieu de [AB] et de rayon la moitié de AB. Un point M en fait partie si et seulement si le triangle AMB est rectangle en M.
Ce qu'on sait
- I désigne le milieu du segment [AB], donc IA = − IB.
- Le produit scalaire d'un vecteur par lui-même donne le carré de sa norme : w ⋅ w = ‖w‖².
- Deux longueurs sont toujours positives ou nulles : l'égalité de leurs carrés entraîne directement l'égalité des longueurs elles-mêmes.
La méthode, étape par étape
1.J'introduis I, le milieu du segment [AB], et je décompose MA et MB par la relation de Chasles, en passant par I : MA = MI + IA et MB = MI + IB.
2.Comme I est le milieu de [AB], les vecteurs IA et IB sont opposés : IB = − IA, donc MB = MI − IA.
3.Je calcule le produit scalaire : MA ⋅ MB = (MI + IA) ⋅ (MI − IA).
4.Je développe par bilinéarité et symétrie, comme une identité remarquable (a + b)(a − b) = a² − b² : (MI + IA) ⋅ (MI − IA) = MI ⋅ MI − IA ⋅ IA = MI² − IA².
5.L'égalité MA ⋅ MB = 0 équivaut donc à MI² = IA², c'est-à-dire à MI = IA, car ce sont deux longueurs, toujours positives ou nulles.
6.MI = IA signifie que M est à la même distance du point I que A et B : l'ensemble cherché est exactement le cercle de centre I et de rayon IA, c'est-à-dire le cercle de diamètre [AB] : Le cercle de centre le milieu de [AB] et de rayon la moitié de AB. Un point M en fait partie si et seulement si le triangle AMB est rectangle en M..
L'ensemble des points M tels que MA ⋅ MB = 0 est le cercle de diamètre [AB].
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Prenons A(0 ; 0) et B(6 ; 0). Le milieu I de [AB] a pour coordonnées (3 ; 0), et IA = 3.
2.Testons M(3 ; 3) : MA a pour coordonnées (0 − 3 ; 0 − 3), soit (−3 ; −3), et MB a pour coordonnées (6 − 3 ; 0 − 3), soit (3 ; −3).
3.(−3) × 3 + (−3) × (−3) = −9 + 9 = 0.
4.Le produit scalaire est nul : M appartient bien au cercle de diamètre [AB], de centre I(3 ; 0) et de rayon 3.