Probabilités et statistiques · 1re
Variable aléatoire et loi de probabilité
Une variable aléatoire n'est ni un évènement ni une probabilité : c'est une fonction qui transforme chaque issue du hasard en un nombre.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- variable aléatoire réelle
- Une fonction définie sur l'univers d'une expérience aléatoire, qui associe un nombre réel à chaque issue.
- loi de probabilité
- Le tableau qui donne, pour chaque valeur possible de la variable aléatoire, la probabilité qu'elle soit atteinte.
Ce qu'on sait
- X est une FONCTION : P(X = a) est une probabilité (un nombre entre 0 et 1), jamais la valeur a elle-même.
- La somme des probabilités de toutes les valeurs d'une loi de probabilité : Le tableau qui donne, pour chaque valeur possible de la variable aléatoire, la probabilité qu'elle soit atteinte. vaut toujours 1.
- P(X ≤ a) rassemble toutes les valeurs INFÉRIEURES OU ÉGALES à a (a inclus) ; ne pas confondre avec P(X = a), qui ne porte que sur la valeur a.
La méthode, étape par étape
1.Je définis clairement ce que représente la variable aléatoire X dans la situation étudiée.
2.Je détermine toutes les valeurs possibles de X, puis la probabilité de chacune : j'obtiens la loi de probabilité.
3.Je vérifie que la somme de toutes ces probabilités vaut 1.
4.Pour calculer P(X ≤ a) ou P(X ≥ a), j'additionne les probabilités de TOUTES les valeurs qui vérifient la condition, a inclus.
La loi de probabilité d'une variable aléatoire donne, pour chaque valeur possible, sa probabilité — et la somme de toutes ces probabilités vaut 1.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Une urne de 10 boules porte les numéros 0, 1 ou 3 ; X est le numéro obtenu.
2.P(X = 0) = 2/10 = 1/5, P(X = 1) = 3/10, P(X = 3) = 5/10 = 1/2.
3.P(X ≥ 1) = 3/10 + 1/2 = 4/5 : je rassemble toutes les valeurs supérieures ou égales à 1.