Probabilités et statistiques · 1re
Probabilités conditionnelles et tableaux croisés
P(A ∩ B) : La probabilité que A et B se réalisent en même temps : elle se calcule toujours en divisant par l'effectif TOTAL du tableau., PA(B) et PB(A) se lisent sur un même tableau, mais elles ne se divisent jamais par le même nombre.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- probabilité conditionnelle
- La probabilité qu'un événement B se réalise, SACHANT qu'un autre événement A est déjà réalisé, notée PA(B).
- P(A ∩ B)
- La probabilité que A et B se réalisent en même temps : elle se calcule toujours en divisant par l'effectif TOTAL du tableau.
Ce qu'on sait
- La définition : PA(B) = P(A ∩ B) ÷ P(A) — je divise par la probabilité de l'événement DÉJÀ RÉALISÉ, celui qui suit le mot « sachant ».
- Sur un tableau croisé, P(A ∩ B) se lit dans une case, divisée par l'effectif TOTAL du tableau ; PA(B) se calcule en divisant cette même case par le seul effectif TOTAL de la ligne (ou de la colonne) A.
- PA(B) et PB(A) ne sont presque jamais égales : elles se calculent avec un dénominateur différent.
La méthode, étape par étape
1.Je repère si la question porte sur A ET B (intersection, on divise par l'effectif total) ou sur B SACHANT A (on divise par l'effectif de A seulement).
2.Pour P(A ∩ B), je lis l'effectif de la case commune à A et B, et je le divise par l'effectif total du tableau.
3.Pour PA(B), je lis la même case, mais je la divise par l'effectif total de la ligne (ou de la colonne) de A.
4.Pour PB(A), je divise cette case par l'effectif total de B : le dénominateur change de nouveau.
P(A ∩ B) : je divise par l'effectif total du tableau. PA(B) : je divise par l'effectif total de A. PB(A) : je divise par l'effectif total de B.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Une usine croise l'origine de ses pièces (machine 1 : 60 pièces, machine 2 : 40) et leur conformité (54 pièces conformes viennent de la machine 1, sur 82 pièces conformes au total, sur 100 pièces).
2.P(A ∩ B) = 54/100 = 27/50 — je divise par le total du tableau.
3.PA(B) = 54/60 = 9/10 — je divise par le total de la machine 1 (A).
4.PB(A) = 54/82 = 27/41 — je divise par le total des pièces conformes (B) : une valeur différente de PA(B).