Probabilités et statistiques · 1re
Arbres pondérés et probabilités totales
Le long d'une branche, les probabilités se multiplient ; entre deux chemins menant au même résultat, elles s'additionnent.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- règle du produit
- Le long d'une branche de l'arbre, on multiplie toutes les probabilités rencontrées pour obtenir la probabilité du chemin complet.
- règle des chemins
- Quand plusieurs chemins de l'arbre mènent au même événement, on ADDITIONNE leurs probabilités.
- partition de l'univers
- Un découpage de l'univers en événements qui ne se recouvrent pas et qui, réunis, couvrent tout l'univers (aussi appelé système complet d'événements).
- formule des probabilités totales
- Pour une partition {A, B} de l'univers, la probabilité d'un événement C vaut P(A ∩ C) + P(B ∩ C) : la somme de ses probabilités sur chaque branche de la partition.
Ce qu'on sait
- Sur une branche de l'arbre, je multiplie les probabilités rencontrées (règle du produit : Le long d'une branche de l'arbre, on multiplie toutes les probabilités rencontrées pour obtenir la probabilité du chemin complet.), même si les deux épreuves ne sont pas indépendantes.
- Quand plusieurs chemins mènent au même événement, j'additionne leurs probabilités (règle des chemins : Quand plusieurs chemins de l'arbre mènent au même événement, on ADDITIONNE leurs probabilités.) : en oublier un fausse tout le calcul.
- Si les premières branches de l'arbre forment une partition de l'univers : Un découpage de l'univers en événements qui ne se recouvrent pas et qui, réunis, couvrent tout l'univers (aussi appelé système complet d'événements)., la probabilité totale d'un événement du second niveau est la somme de ses probabilités sur chacune de ces branches.
La méthode, étape par étape
1.Je construis ou je lis l'arbre : chaque branche porte une probabilité, chaque chemin complet correspond à une issue.
2.Pour la probabilité d'un chemin, je multiplie les probabilités le long de ce chemin.
3.Si plusieurs chemins mènent au même événement, j'additionne leurs probabilités.
4.Si les premières branches forment une partition, j'utilise la formule des probabilités totales : Pour une partition {A, B} de l'univers, la probabilité d'un événement C vaut P(A ∩ C) + P(B ∩ C) : la somme de ses probabilités sur chaque branche de la partition. : je somme les probabilités obtenues sur CHAQUE branche de la partition, sans en oublier aucune.
Le long d'une branche : je multiplie. Entre plusieurs chemins menant au même résultat, ou sur les branches d'une partition : j'additionne.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Dans un lycée, 3/5 des élèves sont en filière générale (G), 2/5 en filière technologique (T) : {G, T} est une partition.
2.Parmi G, 1/4 ont un job étudiant : P(G ∩ Job) = 3/5 × 1/4 = 3/20.
3.Parmi T, 1/2 ont un job étudiant : P(T ∩ Job) = 2/5 × 1/2 = 1/5.
4.Par la formule des probabilités totales : P(Job) = 3/20 + 1/5 = 7/20.