Algèbre · 1re
Modes de génération d'une suite
Une suite se lance de deux façons : une formule qui donne le terme directement, ou une règle qui le construit à partir du précédent — et confondre les deux fait tout dérailler.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- suite numérique
- Une liste ordonnée et infinie de nombres, notée u₀, u₁, u₂, …, ou (uₙ). Le nombre n s'appelle l'indice, ou le rang du terme.
- génération explicite
- Un mode de définition où uₙ se calcule directement à partir de n, par une formule uₙ = f(n).
- génération par récurrence
- Un mode de définition où chaque terme se calcule à partir du précédent, par une relation uₙ₊₁ = f(uₙ), connaissant le premier terme.
Ce qu'on sait
- Dans une définition explicite, je calcule uₙ en remplaçant n par sa valeur, sans avoir besoin des autres termes.
- Dans une définition par récurrence, je dois calculer TOUS les termes précédents, un par un, pour atteindre celui que je cherche.
- L'indice n + 1 désigne le rang JUSTE APRÈS n : uₙ₊₁ est le terme suivant, jamais une opération sur la valeur de uₙ.
La méthode, étape par étape
1.Je repère le mode de génération : une formule directe en n (explicite), ou une règle utilisant le terme précédent (récurrence).
2.Pour une suite explicite, je remplace n par la valeur cherchée dans la formule, et je calcule.
3.Pour une suite par récurrence, je pars du premier terme connu et j'applique la relation autant de fois qu'il faut, pas à pas, sans sauter d'étape.
4.Une suite peut aussi naître d'un motif géométrique ou d'un dénombrement : je compte alors les éléments d'une configuration selon un entier n, et j'en déduis une formule.
Explicite : uₙ = f(n), calcul direct. Récurrence : uₙ₊₁ = f(uₙ), calcul pas à pas depuis le premier terme.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Soit la suite définie par u₀ = 1 et, pour tout n, uₙ₊₁ = 2uₙ + 1.
2.Pour calculer u₂, je ne peux pas remplacer n directement : je dois d'abord passer par u₁.
3.u₁ = 2 × 1 + 1 = 3.
4.u₂ = 2 × 3 + 1 = 7.