Algèbre · 1re
Second degré : forme canonique, discriminant, résolution
Un seul nombre, le discriminant : Pour f(x) = ax² + bx + c, le nombre Δ = b² − 4ac, qui donne le nombre de racines réelles de f., décide de tout : deux racines, une seule, ou aucune — jamais besoin de deviner.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- discriminant
- Pour f(x) = ax² + bx + c, le nombre Δ = b² − 4ac, qui donne le nombre de racines réelles de f.
- forme canonique
- Une écriture du type f(x) = a(x − α)² + β, obtenue par complétion du carré, qui affiche directement le minimum ou le maximum de f.
Ce qu'on sait
- Le discriminant se calcule par Δ = b² − 4ac.
- Si Δ est strictement positif, l'équation ax² + bx + c = 0 a deux solutions distinctes : x = (−b − √Δ) / (2a) et x = (−b + √Δ) / (2a).
- Si Δ est nul, l'équation a une UNIQUE solution (une racine double) : x = −b / (2a).
- Si Δ est strictement négatif, l'équation n'a aucune solution réelle ; f garde alors un signe constant, celui de a.
La méthode, étape par étape
1.Je calcule le discriminant Δ = b² − 4ac.
2.Je détermine son signe : positif (deux racines), nul (une racine double), ou négatif (aucune racine réelle).
3.Si Δ ≥ 0, j'applique les formules de résolution, en n'oubliant ni le signe moins devant b, ni la division par 2a.
4.Pour un problème d'optimisation, je choisis la forme canonique : Une écriture du type f(x) = a(x − α)² + β, obtenue par complétion du carré, qui affiche directement le minimum ou le maximum de f., qui donne directement le minimum ou le maximum sans calcul supplémentaire.
Δ = b² − 4ac : Δ strictement positif, deux racines ; Δ nul, une racine double ; Δ strictement négatif, aucune racine réelle.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Résolvons x² − x − 6 = 0.
2.Δ = (−1)² − 4 × 1 × (−6) = 1 + 24 = 25.
3.Δ = 25 est strictement positif, et √25 = 5.
4.x₁ = (1 − 5) / 2 = −2 et x₂ = (1 + 5) / 2 = 3.