Algèbre · 1re
Second degré : racines, signe, forme factorisée
Sous forme factorisée : Une écriture du type f(x) = a(x − r₁)(x − r₂), qui affiche directement les racines r₁ et r₂., une fonction du second degré livre ses racine : Une valeur de x qui annule une fonction : f(r) = 0. sans calcul : il suffit de savoir les lire, sans se tromper de signe.
La démonstration en vidéo
Le vocabulaire à connaître
- racine
- Une valeur de x qui annule une fonction : f(r) = 0.
- forme factorisée
- Une écriture du type f(x) = a(x − r₁)(x − r₂), qui affiche directement les racines r₁ et r₂.
Ce qu'on sait
- Dans f(x) = a(x − r₁)(x − r₂), les racines sont r₁ et r₂ — attention au signe : le facteur (x − r) s'annule en x = r, pas en x = −r.
- La somme des racines vaut r₁ + r₂, leur produit vaut r₁ × r₂ : deux quantités bien distinctes, à ne jamais échanger.
- Le signe d'une fonction du second degré factorisée est celui de a À L'EXTÉRIEUR des racines, et le signe contraire de a ENTRE les racines.
La méthode, étape par étape
1.Pour lire les racines d'une forme factorisée, j'annule chaque facteur : (x − r) = 0 donne x = r.
2.Pour étudier le signe, je place les racines dans un tableau, dans l'ordre croissant, et j'applique la règle : signe de a à l'extérieur, signe opposé entre les racines.
3.Pour factoriser à partir de la forme développée, je cherche une racine évidente, ou deux nombres dont je connais la somme et le produit.
4.Pour déterminer une fonction s'annulant en deux réels donnés r₁ et r₂, j'écris f(x) = a(x − r₁)(x − r₂).
f(x) = a(x − r₁)(x − r₂) : racines r₁, r₂ ; signe de a à l'extérieur des racines, signe opposé entre elles.
C.Q.F.D.
L'exemple au propre
1.Soit f(x) = 2(x − 3)(x + 1).
2.Les racines sont 3 et −1 (et non −3 et 1).
3.Le coefficient a = 2 est positif : f(x) est positif à l'extérieur de [−1 ; 3], négatif entre les deux racines.